記述統計 — 代表値と散らばり
記述統計は、手元のデータそのものの特徴を「代表値（どこが中心か）」と「散らばり（どれくらいばらついているか）」の2つの視点で要約する手法です。推測統計（推定・検定）に進む前の土台になります。
代表値：分布の中心を表す ★
データの中心的な位置を1つの数で表すのが代表値です。代表的なものは3つあります。
- 平均（mean）: すべての値の合計をデータの個数で割った値。計算しやすく扱いやすい一方、極端に大きい/小さい値（外れ値）に引っ張られやすい性質があります。
- 中央値（median）: データを小さい順に並べたときの中央の値。個数が偶数のときは中央2つの平均をとります。外れ値の影響を受けにくいのが特長です。
- 最頻値（mode）: 最も頻繁に現れる値。連続データではヒストグラムの最も高い階級の中央で代替します。
左右対称な分布では平均・中央値・最頻値はほぼ一致しますが、片側に裾を引く分布（歪んだ分布）ではこれらが離れます。したがって分布の形に応じて使い分けることが重要です。
散らばり：ばらつきの大きさを表す ★
中心が同じでも、ばらつきが違えばデータの性質は大きく異なります。散らばりの指標には次のものがあります。
- 分散（variance）: 各値と平均の差（偏差）を2乗して平均したもの。標本分散は偏差平方和を「データ数 − 1」で割って求めます（s² = Σ(Yᵢ − Ȳ)² / (N − 1)）。
- 標準偏差（standard deviation）: 分散の平方根。2乗で失われた単位が元に戻るため、元データと同じ単位で「ばらつきの大きさ」を解釈できます。
- 範囲（range）: 最大値と最小値の差。計算は簡単ですが両端の値だけで決まります。
- 四分位範囲（IQR）: 第3四分位数（75%点）から第1四分位数（25%点）を引いた値。中央付近の50%がどれだけ広がっているかを表し、外れ値の影響を受けにくい指標です。
外れ値と頑健性 ★★
平均や分散は偏差を「そのまま」あるいは「2乗」で使うため、極端な値の影響を強く受けます。これに対し、中央値・四分位範囲・中央絶対偏差（MAD）は順位や中央値に基づくため、外れ値に対して**頑健（robust）**です。データに外れ値が含まれる、あるいは分布が大きく歪んでいるときは、平均・標準偏差だけでなく中央値・四分位範囲も併記すると誤解を避けられます。
まとめ
- 中心は平均・中央値・最頻値、散らばりは分散・標準偏差・範囲・四分位範囲で要約する。
- 分布が対称なら平均、歪みや外れ値があるなら中央値・IQR を重視する。
- 数値は必ず「中心」と「散らばり」をセットで見る。
確認問題
問1. 次のうち、外れ値の影響を最も受けにくい代表値はどれか。
- 平均
- 中央値
- 合計
- 標準偏差
正解: 2 解説: 中央値はデータを順に並べた中央の値であり、極端な値が加わっても中央の位置はほとんど動きません。平均と標準偏差は外れ値に強く引っ張られます。
問2. 標本標準偏差について正しい記述はどれか。
- 分散を2乗したものである
- 分散の平方根であり、元データと同じ単位をもつ
- 最大値と最小値の差である
- 常に平均より大きい
正解: 2 解説: 標準偏差は分散の平方根です。2乗によって変わっていた単位が元に戻るため、元データと同じ単位でばらつきを解釈できます。1は逆（分散が標準偏差の2乗）、3は範囲の説明です。
問3. 四分位範囲（IQR）の説明として正しいものはどれか。
- 平均から標準偏差だけ離れた区間の幅
- 第3四分位数から第1四分位数を引いた値
- 最頻値と中央値の差
- すべての偏差の平均
正解: 2 解説: IQR は 75%点（第3四分位数）と 25%点（第1四分位数）の差で、中央付近50%の広がりを表します。順位に基づくため外れ値に頑健です。
参考にした考え方の出典
本ページの定義は NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods（1.3.5.1 / 1.3.5.6）に基づき、自分の言葉で整理したものです（末尾の参考文献を参照）。